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lim(tAnx%sinx)/x^3

无穷近似值代换,二倍角公式 =lim(1-cosx)/x²limtanx/x =lim2sin²(x/2)/x² =lim2(x/2)²/x² =1/2

猜x→0时 (tanx-sinx)/x^3 →(sec^x-cosx)/(3x^2) →[(-2)(-sinx)/(cosx)^3+sinx]/(6x) →1/2.

lim(tanx-sinx/sin³x)=lim(1-cosx)/sin²x=lim 2sin²(x/2)/sin²x=(x²/2)/x²=1/2 x→0

lim(tanx-sinx)/x^3 =limsinx(1/cosx-1)/x^3 =lim[sinx(1-cosx)]/[cosx·x³] =lim[x(1/2)x²]/[cosx·x³] =lim1/(2cosx) =1/2

显然 tanx -sinx=tanx*(1-cosx) 在x趋于0的时候, tanx 等价于x,而1-cosx等价于0.5x^2 于是得到 原极限 =lim(x->0) x * 0.5x^2 / x^3 =0.5 故极限值为0.5

前两个等式写的不对,因为有限个极限写成线性之和是在每个单项极限都存在才成立,而本题中,每个单项极限都不存在。先消去sinx,再利用洛必达法则,结果为1/2

这个没错 然后 =lim (sinx-sinx·cosx)/(cosx·x^3) =lim sinx·(1-cosx)/(1·x^3) =lim x·((1/2)x²)/(x^3) = 1/2

(e^tanx-e^sinx)/x³ =(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/x³ 而(e^tanx-e^sinx)/(tanx-sinx)=e^ξ,ξ在sinx与tanx之间 所以原式=e^ξ*(tanx-sinx)/x³ 当x→0时,ξ→0,利用等价替换tanx-sinx~x³/2可知原式=e^0*1/2=1/2

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